Математика будущего: как искусственный интеллект совершит переворот в науке

Сегодня я хочу познакомить вас с мыслями самого Финка — мы адаптировали для блога его колонку для Nature, кое-что сократив, но добавив наглядные иллюстрации и ссылки. Погружаемся.

Момент рождения гипотезы часто описывают как нечто мистическое: будто математик получает откровение свыше. Сформулировать по-настоящему глубокое предположение, требующее доказательства, — это сплав гения, накопленного опыта и почти животной интуиции. Сам ученый потом вряд ли сможет внятно объяснить, как это пришло ему в голову. И вот парадокс: именно в эту, самую «человеческую» сферу, машинный интеллект может привнести самые радикальные перемены. Неожиданно, правда?

В 2017 году мои коллеги по институту, почти что в шутку, начали кормить математические данные алгоритмам машинного обучения. А когда наступила пандемия и у всех появилось много свободного времени, они обнаружили невероятное: простейшие ИИ-классификаторы научились предсказывать ранг эллиптических кривых — ключевую меру их сложности. Эти кривые — священный грааль теории чисел, и статистическое понимание их структуры является критическим шагом к решению одной из «задач тысячелетия» от Института Клэя, за которую полагается миллион долларов. Кто бы мог подумать, что ИИ влезет в эту игру с такими высокими ставками?

И это не единственный пример. Пару лет назад программа «Машина Рамануджана» вывела новые, доселе неизвестные формулы для фундаментальных констант вроде π и e. Как? Методом грубого перебора семейств цепных дробей — таких многоэтажных дробей, где знаменатель содержит дробь, в знаменателе которой снова дробь, и так до бесконечности. Часть этих гипотез от ИИ уже доказана, а часть до сих пор ставит математиков в тупик.

Или вот теория узлов — раздел топологии, где изучают, как можно запутать воображаемую веревку, склеив её концы. Исследователи из Google DeepMind обучили нейросеть на множестве узлов и наткнулись на неожиданную связь между их алгебраической и геометрической природой. Машина указала на закономерность, которую люди могли просмотреть десятилетиями.

Так как же ИИ меняет правила игры в математике, этом бастионе человеческого творчества?

Во-первых, математика — это царство абсолютной определенности. В обычных экспериментах возможны ложные срабатывания и ошибки. Но в математике один-единственный контрпример — и гипотеза разбита вдребезги. Вспомните гипотезу Пойа: она утверждала, что большинство целых чисел имеют нечетное количество простых множителей. И всё бы ничего, пока в 1960 году не нашли число 906 180 359, которое эту гипотезу безжалостно опровергло. Один пример — и всё, теория рухнула.

Во-вторых, данные для обучения ИИ в математике — дешевы и практически бесконечны. Простые числа, узлы, последовательности — всего этого в избытке. Взять хотя бы Онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей (OEIS): там почти 375 тысяч записей! От классического ряда Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...) до пугающей последовательности «Занятого Бобра» (0, 1, 4, 6, 13...), которая растет быстрее любой вычислимой функции. Ученые уже вовсю используют машинное обучение, чтобы рыскать в этой базе данных и находить неочевидные связи.

ИИ может быть гениальным сыщиком, вынюхивающим закономерности и рождающим гипотезы пачками. Но вот в чем загвоздка: не все гипотезы одинаково полезны. Их истинная ценность — в том, чтобы расширять наше понимание математики как целого. Великий математик Г. Х. Харди в 1940 году писал, что по-настоящему хорошая теорема — это та, которая становится частью многих математических конструкций, которая работает в доказательствах самых разных типов. Проще говоря, лучшие теоремы рождают новые теоремы. А гипотеза, которая ведет нас к новым горизонтам, куда ценнее той, что просто констатирует факт. Но чтобы это отличить, нужна интуиция и глубокое чувство того, куда развивается вся эта область знаний. Обладает ли таким чувством контекста ИИ? В обозримом будущем — вряд ли. Поэтому отличить алмаз от булыжника он пока не сможет.

И всё же, несмотря на эти ограничения, внедрение ИИ в математику — это благо. Машина может распахнуть двери в комнаты, о существовании которых мы даже не подозревали.

Мне кажется, ведущим математическим журналам пора чаще публиковать именно гипотезы. Ведь что двигало математику вперёд? Великая теорема Ферма, гипотеза Римана, 23 проблемы Гильберта, тождества Рамануджана... Все они когда-то были лишь смелыми предположениями. Гипотеза — это маяк, который указывает направление для целой флотилии исследований. Статьи, представляющие обоснованные гипотезы, подкреплённые данными или эвристическими аргументами, могли бы ускорить открытия в разы.

Взгляните на смежный пример из материаловедения. В прошлом году ИИ от Google DeepMind предсказал 2.2 миллиона новых кристаллических структур. Фантастический результат! Но сколько из них стабильны? Какие можно реально синтезировать? И, главное, зачем они нужны? Ответить на эти вопросы — задача учёных, которые видят всю картину целиком.

Точно так же и в математике: воображение и интуиция исследователя останутся незаменимыми для осмысления того, что нарыла машина. Так что, друзья, ИИ в этой истории — не заменяющий нас гений, а всего лишь невероятно мощный катализатор для нашего собственного, человеческого, интеллекта. И в этом, пожалуй, есть своя красота.