Математик решил задачу XIX века: как нашли ключ к «нерешаемым» уравнениям

Жозеф Лиувилль когда-то поставил жирный крест: решения в привычных функциях (тех же экспонентах или синусах) для таких уравнений, как правило, не найти. И ведь эти уравнения — не абстракция, а язык, на котором говорит реальный мир:

• Квантовая механика: как ведет себя частица в поле, которое меняется от точки к точке?
• Акустика и оптика: как распространяется волна в океане, где вода на разной глубине имеет разную плотность?
• Теория упругости: как рассчитать нагрузку на крыло из современных композитов, чьи свойства неоднородны?

Долгие годы у ученых был небогатый выбор: грубо упрощать модель или довольствоваться приближенными цифрами, всегда с сомнением в их точности. Но согласитесь, в XXI веке хочется большего?

Разбить невозможное на бесконечно малые шаги

Идея Ремизова гениальна в своей простоте. Вместо того чтобы пытаться одним махом найти решение-монолит, он предложил собрать его, как мозаику, из бесчисленного количества элементарных кусочков. Каждый кусочек — это микро-шаг, описываемый так называемыми аппроксимациями Чернова.

Представьте, что вы хотите описать сложнейшую траекторию. Вы разбиваете ее на огромное число прямых отрезков. Чем их больше, тем точнее вы к ней приближаетесь. Примерно так и здесь: берется бесконечная последовательность простых операторов, построенных прямо из коэффициентов исходного уравнения. В пределе эта конструкция превращается в знаменитую «формулу Фейнмана» — мощный инструмент интеграла по траекториям.

Но главный фокус в другом. Ремизов строго доказал: возьми преобразование Лапласа от этой бесконечной череды шагов — и ты получишь не приближение, а точное решение. Он не просто нашел выход, он дал нам карту и компас, показав, как быстро мы придем к цели.

Когда уравнение становится алгоритмом

В чем, собственно, прорыв? Ремизов переводит решение из области интуитивного «искусства» в плоскость строгого, алгоритмического вычисления. Это меняет правила игры в эпоху суперкомпьютеров.

Уравнение перестает быть черным ящиком. Теперь его решение можно «набрать» из его же собственных коэффициентов, как собирают сложную модель из стандартных деталей конструктора. Работа строит мост между высокой теорией функционального анализа и насущными потребностями физиков и инженеров, которым нужны не догадки, а точные цифры. Не правда ли, элегантно?

С подробностями можно ознакомиться в публикации во «Владикавказском математическом журнале».